嗨！昨天我试着写点关于浮点数的东西，我发现自己对这个 64 位浮点数的计算方法很好奇：
>>> 0.1 + 0.20.30000000000000004我意识到我并没有完全理解它是如何计算的。我的意思是，我知道浮点计算是不精确的，你不能精确地用二进制表示0.1，但是：肯定有一个浮点数比0.30000000000000004更接近 0.3！那为什么答案是0.30000000000000004呢？
(资料图片仅供参考)
如果你不想阅读一大堆计算过程，那么简短的答案是：0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125正好位于两个浮点数之间，即0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875（通常打印为0.3） 和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125（通常打印为0.30000000000000004）。答案是0.30000000000000004，因为它的尾数是偶数。
以下是浮点加法的简要计算原理：
把它们精确的数字加在一起将结果四舍五入到最接近的浮点数让我们用这些规则来计算 0.1 + 0.2。我昨天才刚了解浮点加法的计算原理，所以在这篇文章中我可能犯了一些错误，但最终我得到了期望的答案。
第一步：0.1 和 0.2 到底是多少首先，让我们用 Python 计算0.1和0.2的 64 位浮点值。
>>> f"{0.1:.80f}""0.10000000000000000555111512312578270211815834045410156250000000000000000000000000">>> f"{0.2:.80f}""0.20000000000000001110223024625156540423631668090820312500000000000000000000000000"这确实很精确：因为浮点数是二进制的，你也可以使用十进制来精确的表示。但有时你只是需要一大堆数字:)
第二步：相加接下来，把它们加起来。我们可以将小数部分作为整数加起来得到确切的答案：
>>> 1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 20000000000000001110223024625156540423631668090820312503000000000000000166533453693773481063544750213623046875所以这两个浮点数的和是0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875。
但这并不是最终答案，因为它不是一个 64 位浮点数。
第三步：查找最接近的浮点数现在，让我们看看接近0.3的浮点数。下面是最接近0.3的浮点数（它通常写为0.3，尽管它不是确切值）：
>>> f"{0.3:.80f}""0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000"我们可以通过struct.pack将0.3序列化为 8 字节来计算出它之后的下一个浮点数，加上 1，然后使用struct.unpack：
>>> struct.pack("!d", 0.3)b"?\xd3333333"# 手动加 1>>> next_float = struct.unpack("!d", b"?\xd3333334")[0]>>> next_float0.30000000000000004>>> f"{next_float:.80f}""0.30000000000000004440892098500626161694526672363281250000000000000000000000000000"当然，你也可以用math.nextafter：
>>> math.nextafter(0.3, math.inf)0.30000000000000004所以0.3附近的两个 64 位浮点数是0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125。
结果证明0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875正好在0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125的中间。
你可以通过以下计算看到：
>>> (3000000000000000444089209850062616169452667236328125000 + 2999999999999999888977697537484345957636833190917968750) // 2 == 3000000000000000166533453693773481063544750213623046875True所以它们都不是最接近的。
如何知道四舍五入到哪一个？在浮点数的二进制表示中，有一个数字称为“尾数”。这种情况下（结果正好在两个连续的浮点数之间），它将四舍五入到偶数尾数的那个。
在本例中为0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500。
我们之前就见到了这个数字的尾数：
0.30000000000000004 是struct.unpack("!d", b"?\xd3333334")的结果0.3 是struct.unpack("!d", b"?\xd3333333")的结果0.30000000000000004的大端十六进制表示的最后一位数字是4，它的尾数是偶数（因为尾数在末尾）。
之前我们都是使用十进制来计算的，这样读起来更直观。但是计算机并不会使用十进制，而是用 2 进制，所以我想知道它是如何计算的。
我不认为本文的二进制计算部分特别清晰，但它写出来对我很有帮助。有很多数字，读起来可能很糟糕。
64 位浮点数如何计算：指数和尾数64 位浮点数由 2 部分整数构成：指数和尾数，还有 1 比特符号位.
以下是指数和尾数对应于实际数字的方程：
例如，如果指数是1，尾数是2**51，符号位是正的，那么就可以得到：
它等于2 * (1 + 0.5)，即 3。
我用 Python 编写了一些（to 校正：这里原文加了一个 inefficient 形容词，不知道如何翻译）函数来获取正浮点数的指数和尾数:
def get_exponent(f): # 获取前 52 个字节 bytestring = struct.pack("!d", f) return int.from_bytes(bytestring, byteorder="big") >> 52def get_significand(f): # 获取后 52 个字节 bytestring = struct.pack("!d", f) x = int.from_bytes(bytestring, byteorder="big") exponent = get_exponent(f) return x ^ (exponent << 52)我忽略了符号位（第一位），因为我们只需要处理 0.1 和 0.2，它们都是正数。
首先，让我们获取 0.1 的指数和尾数。我们需要减去 1023 来得到实际的指数，因为浮点运算就是这么计算的。
>>> get_exponent(0.1) - 1023-4>>> get_significand(0.1)2702159776422298它们根据2**指数 + 尾数 / 2**(52 - 指数)这个公式得到0.1。
下面是 Python 中的计算:
>>> 2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)0.1（你可能会担心这种计算的浮点精度问题，但在本例中，我很确定它没问题。因为根据定义，这些数字没有精度问题 -- 从2**-4开始的浮点数以1/2**(52 + 4)步长递增。）
0.2也一样:
>>> get_exponent(0.2) - 1023-3>>> get_significand(0.2)2702159776422298它们共同工作得到0.2:
>>> 2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3)0.2（顺便说一下，0.1 和 0.2 具有相同的尾数并不是巧合 —— 因为x和2*x总是有相同的尾数。）
0.2的指数比0.1大 -- -3 大于 -4。
所以我们需要重新计算：
2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)等于X / (2**52 + 3)
如果我们解出2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4) = X / (2**52 + 3)，我们能得到：
X = 2**51 + 2702159776422298 /2
在 Python 中，我们很容易得到：
>>> 2**51 + 2702159776422298 //23602879701896397现在我们试着做加法：
2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3) + 3602879701896397 / 2**(52 + 3)我们需要将2702159776422298和3602879701896397相加：
>>> 2702159776422298 + 36028797018963976305039478318695棒。但是6305039478318695比2**52-1（尾数的最大值）大，问题来了:
>>> 6305039478318695 > 2**52True目前结果是：
2**-3 + 6305039478318695 / 2**(52 + 3)首先，它减去 2**52：
2**-2 + 1801439850948199 / 2**(52 + 3)完美，但最后的2**(52 + 3)需要改为2**(52 + 2)。
我们需要将1801439850948199除以 2。这就是难题的地方 --1801439850948199是一个奇数!
>>> 1801439850948199 / 2900719925474099.5它正好在两个整数之间，所以我们四舍五入到最接近它的偶数（这是浮点运算规范要求的），所以最终的浮点结果是:
>>> 2**-2 + 900719925474100 / 2**(52 + 2)0.30000000000000004它就是我们预期的结果：
>>> 0.1 + 0.20.30000000000000004在硬件中做浮点数加法，以上操作方式可能并不完全一模一样（例如，它并不是求解 “X”），我相信有很多有效的技巧，但我认为思想是类似的。
打印浮点数是非常奇怪的我们之前说过，浮点数 0.3 不等于 0.3。它实际上是:
>>> f"{0.3:.80f}""0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000"但是当你打印它时，为什么会显示0.3？
计算机实际上并没有打印出数字的精确值，而是打印出了最短的十进制数d，其中f是最接近d的浮点数。
事实证明，有效做到这一点很不简单，有很多关于它的学术论文，比如快速且准确地打印浮点数、如何准确打印浮点数等。
如果计算机打印出浮点数的精确值，会不会更直观一些？四舍五入到一个干净的十进制值很好，但在某种程度上，我觉得如果计算机只打印一个浮点数的精确值可能会更直观 -- 当你得到一个奇怪的结果时，它可能会让你看起来不那么惊讶。
对我来说，0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125比0.1 + 0.2 = 0.30000000000000000004惊讶少一点。
这也许是一个坏主意，因为它肯定会占用大量的屏幕空间。
PHP 快速说明有人在评论中指出在 PHP 中会输出0.3，这是否说明在 PHP 中浮点运算不一样？
非也 —— 我在这里运行:
，得到了与 Python 完全相同的答案：5.5511151231258E-17。因此，浮点运算的基本原理是一样的。
我认为在 PHP 中0.1 + 0.2输出0.3的原因是 PHP 显示浮点数的算法没有 Python 精确 —— 即使这个数字不是最接近 0.3 的浮点数，它也会显示0.3。
我有点怀疑是否有人能耐心完成以上所有些算术，但它写出来对我很有帮助，所以我还是发表了这篇文章，希望它能有所帮助。
